ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA

1. ¿QUÉ ES LA MATEMÁTICA?

Muchas veces la hemos estudiado, incluso la hemos enseñado, pero muy pocas veces nos pusimos a pensar en lo que es la Matemática. Nuestro caso no es el único pues existen muchos profesores, con muchos años de servicio que tienen el mismo problema. Por ese motivo es que previo a nuestro tema de investigación específico, trataremos brevemente algunos aspectos generales sobre la epistemología de la Matemática.

     

Algunos definen a la Matemática como la ciencia de los números o como ciencia de la cantidad. Esta definición además de anticuada resulta insuficiente para nuestros intereses epistemológicos.

     

 Nosotros definiremos a la Matemática de manera clara y concisa como una ciencia formal que estudia a entes ideales, sus propiedades y las relaciones que existen entre ellos. Estos entes sólo existen en la mente humana y no nos dan información acerca de la realidad o simplemente no se ocupan de los hechos.

 Ejemplo: el concepto de número abstracto nació sin duda de la correspondencia biunívoca y de conjuntos de objetos materiales tales como dedos por una parte y guijarros, por la otra; pero no por esto aquel concepto se reduce a esta operación manual, ni a los signos que se emplean para representarlo. Los números no existen fuera de nuestros cerebros y aun allí dentro existen a nivel conceptual y no a nivel fisiológico. En el mundo real encontramos 3 libros, en el mundo de la ficción construimos 3 platos voladores. ¿Pero quién vio jamás un 3, un simple 3?

La Matemática por ocuparse de inventar entes formales y de establecer relaciones entre ellos, se llama ciencia formal. Podemos establecer correspondencia entre esas formas, por una parte y cosas  procesos pertenecientes a cualquier nivel de la realidad, por la otra.

La matemática jamás entra en conflicto con la realidad. Se podría dar una paradoja: que siendo formal se “aplica” a la realidad. En rigor no se aplica, sino que se aplica en la vida cotidiana y en las otras ciencias que hablan de los hechos a condición de que las superpongan reglas de correspondencia adecuada.

1.1. Las demostraciones matemáticas

Llamaremos demostración matemática a la combinación o enlace que realizamos, de dos o más proposiciones para obtener nuevas proposiciones y relaciones. 

La matemática por ser una ciencia formal, se contenta simplemente con la lógica para demostrar sus teoremas. Para demostrar un teorema matemático no recurrimos a la experiencia como en las ciencias naturales o sociales. La demostración de los teoremas no es sino una deducción, es decir, es una operación confinada a la esfera teórica.

Ejemplo: “cualquier demostración rigurosa del teorema de Pitágoras prescinde de las mediciones y emplea figuras como ayuda psicológica al proceso didáctico; pero que el teorema de Pitágoras haya sido el resultado de un largo proceso de inducción, conectado a operaciones prácticas de mediciones de tierras, es objeto de la historia, la sociología y la Psicología del Conocimiento”.

En conclusión, para determinar la verdad en la Matemática, simplemente es necesaria la coherencia del enunciado dado con un sistema de ideas admitido previamente como verdadero.

Pero la verdad Matemática no es absoluta, pues sólo será una proposición verdadera para un sistema o teoría determinado; en otro puede que no lo sea. Sólo se debe cuidar la coherencia con respecto al sistema que se ha convenido en usar. Veamos un ejemplo al demostrar la propiedad distributiva del producto cartesiano.

1.2. Forma cómo está constituida la matemática

Lo que veremos es qué elementos y conceptos constituyen la ciencia Matemática.

-          Definiciones

En la definición se expresan nociones complejas mediante la enumeración de las nociones más simples que la conforman. Como por ejemplo: el cuadrado es un polígono de cuatro lados.

-          Propiedades

Forman el armazón teórico de la Matemática, se enuncian en forma de proposiciones lógicas, evidentes o no y son los postulados y los teoremas.

-          Postulados

Son propiedades fundamentales de captación espontánea, es decir, son verdades intuitivas que tienen suficiente evidencia para ser aceptadas como verdaderas. Ejemplos: la suma de dos números es única  o que todo objeto es igual a sí mismo.

-          Teoremas

Son otras propiedades que surgen de las propiedades fundamentales que tienen un carácter eminentemente deductivo y que requieren demostración para ser aceptadas  como verdaderas, es decir, es una verdad no evidente, pero demostrable. Ejemplo: si un número termina en cero o cifra par, es divisible por dos.

-          Lema

Para demostrar un teorema es necesario algunas veces anteponerle otro, éstos son los lemas.

-          Corolario

Los corolarios son verdades que se derivan de los teoremas o como consecuencia de ellos.

-          Recíproco de un teorema

Es otro teorema cuya hipótesis es la tesis de un primer teorema y su tesis es la hipótesis de esta última. Ejemplo: Teorema: si un número termina en cero o en cifra par es divisible por dos. El recíproco: sin un número es divisible por dos, tiene que terminar en cero o en cifra par.

-          Escolio

Son observaciones sobre algunas cuestiones matemáticas y que pueden ser también advertencias.

-          Problema

Son cuestiones prácticas, en las que hay cantidades conocidas llamadas datos, los cuales tenemos que relacionar para encontrar el valor de las cantidades desconocidas llamadas incógnitas.

-          Axioma

Se habla de axiomas en todos los campos del saber y sobre todo en el de la Matemática. Los definiremos como una proposición tan clara y evidente que no necesita ni puede demostrarse.

Además de ello, muy brevemente veremos cómo está estructurada nuestra ciencia Matemática.

La Matemática está formada por las estructuras madres que constituyen los pilares de esta ciencia y que presentan el máximo de abstracción y generalidad, además de ser irreductibles entre sí. Éstas son:

a) Las estructuras algebraicas

Cuyo prototipo es el grupo caracterizado por su composición operatoria, su reversibilidad (operación inversa), su asociatividad, y la presencia de un elemento neutro.

b) Las estructuras de orden

Una de cuyas formas importantes es la de la red, retículo o entramado (lattice) y que se refieren a las relaciones...

c) Las estructuras topológicas

Que se refieren a las nociones de vecindad, de límite y de continuidad

Estas estructuras madres, son las iniciales, es decir, que son las estructuras organizadas o equilibradas más primitivamente. Es decir, son las más elementales. Del resto no nos ocuparemos en este trabajo.

2. IMPORTANCIA DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA

La importancia de la enseñanza de la Matemática radica en lo que llamaría el Dr. Fausto Toranzos los valores de la enseñanza de la Matemática y que son: el Valor Formativo, el Instrumental y el Práctico. Debido a ellos (que desarrollaremos más adelante) es que la Matemática cumple un rol muy importante en todo plan de estudios del mundo. A continuación veremos cada uno de ellos.

2.1. Valor formativo

Se enfoca este valor como que la Matemática disciplina la inteligencia. Muy pocos son los que le reconocen este valor pues el profesor de Matemática generalmente se ocupa tan sólo de instruir, transmitir los conocimientos o ejercicios del tema y limitan la enseñanza a ese objetivo; desconocen el valor que tiene la enseñanza de la Matemática, pues creen que ciencias como ésta, sólo sirven para instruir y que la formación podemos dejarla para las ciencias sociales. Dependerá mucho del pensamiento y capacidad del profesor  para poner en práctica este valor. Vemos que actualmente se da una situación contraria a la que quisiéramos.

Toranzos en su libro “Enseñanza de la Matemática” al tratar el valor formativo, destaca ciertas características de nuestra ciencia que le dan este valor y su importancia en la educación las cuales son las siguientes:

-       Su estructura responde a un tipo fundamental de razonamiento; nos referimos al razonamiento matemático el cual tiene una gran importancia, no sólo en el campo de la Matemática sino que es un medio formativo indispensable para el estudio de las ciencias físico-naturales y para la técnica ya que el lenguaje y los métodos de razonamiento de la técnica son los de la Matemática. Además su importancia formativa se hace sentir generalmente en todo razonamiento de carácter deductivo porque la Matemática prepara para la aptitud de analizar y deducir, ejercita para el desarrollo mental.

-       Presenta ciertas características que la hacen más ventajosa que otras disciplinas para el ejercicio de la capacidad de razonar, tales como la simplicidad graduable ya que podemos presentar situaciones con la simplicidad o complejidad que se desee, además podemos descomponer las más complejas en varias partes simples, lo cual tiene una gran importancia, pues la Matemática permite enseñar de acuerdo a la capacidad del alumno cualquier tema. Claridad y precisión de los conceptos ya que la conceptuación matemática es perfecta y relativamente simple como nos lo dice Toranzos, además de ser inequívoca; acostumbra a la mente a reconocer la verdad. Objetividad y seguridad de los resultados, pues la Matemática es una ciencia exacta y todas las deducciones que hagamos en ella serán exactas y seguras, por ello al realizar ejercicios los alumnos tendrán la seguridad de que llevando a cabo adecuadamente los procedimientos, llegarán a una repuesta verdadera.

-       El estudio de la Matemática y sus aplicaciones, proporciona motivos muy apropiados para el ejercicio del ideal de la Escuelas Nueva: actividad original; a diferencia del modelo tradicional donde se aplica la “educación bancaria” y el alumno es un mero repetidor, mecanicista; la Matemática hace que el alumno ejercite por sí solo y de forma exitosa  su capacidad de resolver problemas nuevos, utilizando procedimientos selectos por él mismo y utilizando el razonamiento.

-       Contribuye a desarrollar la imaginación, ejercita el poder de generalización y abstracción, introduce el simbolismo y contribuye a forjar el hábito de precisión en el uso del lenguaje, así como de exactitud y claridad en los conceptos y razonamientos. Decimos que contribuye a desarrollar la imaginación porque la ejercita como en la Geometría al solucionar los problemas, elabora dibujos, diagramas, etc. Ejercita el poder de generalización y abstracción ya que en forma deductiva podemos estudiar y aplicar conceptos y casos particulares, todos relacionados a un teorema aplicable a todos ellos; esto se ve más reflejado en el Álgebra en que se usa el lenguaje simbólico. Finalmente contribuye a perfeccionar el uso del idioma por la claridad y precisión absoluta de los conceptos y razonamientos matemáticos además de usar y relacionar las palabras con precisión.

-       Aunque en menor grado que las anteriores, tiene también la enseñanza de la Matemática importancia desde el punto de vista estético y moral. Decimos moral porque acostumbra a la mente a reconocer la verdad, profundo respeto por ella y aceptarla como norma suprema de la conducta. Estética en el sentido que la Matemática es la ciencia que expresa perfección, riqueza, rigor, precisión y sobriedad; incluso en la Geometría necesitamos simetría y proporcionalidad, además de contribuir en el alumno en su apreciación de la naturaleza y del arte concreto.

2.2. Valor instrumental

La Matemática es un instrumento utilizado por las ciencias físico-naturales ya que al realizar la etapa de sistematización, de medición ponen en práctica los conocimientos matemáticos y al realizar deducciones de nuevas leyes y conclusiones, es por ello que a estas ciencias se les asigne la perfección de la que gozan actualmente; incluso en las ciencias contables y administrativas, en la economía y otras poco a poco se ve su relación más cercana con la Matemática y alcanzar más precisión y exactitud en sus leyes. En la técnica también es indispensable la utilidad de la Matemática, pues ella sería inexistente sin el instrumento fundamental que es la Matemática; por ello en todo plan de estudio de educación básica, superior universitaria y no universitaria, tecnológica, aparece la Matemática en sus distintos grados de profundidad. Vivimos en un mundo en el cual la Matemática es un instrumento esencial para entenderlo y transformarlo.

2.3. Valor práctico

Vivimos en un mundo regido por la Matemática por lo que su valor práctico se hace evidente. Al estudiar en el colegio y en la universidad la Matemática, hallaremos su valor práctico para la vida o el mundo concreto, no aplicando los teoremas, postulados o demás enunciados matemáticos que aprendimos; sino que este valor práctico se hará notar en la medida en que utilicemos el razonamiento o desarrollemos más esa capacidad en las distintas circunstancias de la vida y empleemos o pongamos en práctica la formación mencionada en el valor formativo de la Matemática.

En esos puntos tratados, radica la importancia de la enseñanza de la Matemática, pues como ya vimos goza de características que le dan esa gran importancia en la instrucción y formación del niño y del joven futuro de la sociedad, así como de los adultos que aún están en proceso de instrucción y formación de algún tipo.

3. METODOLOGÍA DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA

Es necesario tratar la metodología general de la didáctica para tener claro sobre qué base se trabajará para desarrollar la Matemática y en especial la “Matemática  Recreativa”. Muchos afirmarán que estos temas ya son anacrónicos y que de lo único que se debe hablar es de actividades significativas, metodología activa, etc. pues nosotros creemos que esto no es así y es importante tratarlo pues “si queremos hacer el arte abstracto más sofisticado, antes debemos aprender a dibujar una manzana”, como lo diría el famoso artista español Dalí. Dicha metodología funciona, demostrada por décadas de trabajo pedagógico, pues muchos hemos aprendido con esta metodología, así que decir que ya no se debe estudiar o hablar siquiera de estos temas es equivocado porque estaríamos negando su importancia o incluso decir anacrónico a aquello que aún usan los mismos que dan estas afirmaciones.

3.1. MÉTODOS

Etimológicamente método o la palabra método procede de las voces griegas:

                                  Metha = fin

                                 Odos = camino

Es decir que método etimológicamente es el camino que se sigue para llegar a un fin; ahora  este camino no es cualquier camino sino uno racional, lógico y adecuado.

“El método es un proceso mental que se aprecia , no por su punto inicial, sino por el terminal”

Ahora trataremos los métodos que los denominaremos, según al resultado a que llegue dicho proceso mental. Los métodos son cuatro: inductivo, deductivo, analítico y sintético.

a) Método inductivo

Es el proceso mental, como ya dijimos, del razonamiento que avanza de lo particular a lo general; es decir, que va de los casos particulares a su causa o su explicación en una forma general. En este método se explican la formación de las ideas generales como síntesis de las ideas particulares. Este método, no se puede aplicar para la adquisición de una idea particular.

El profesor al aplicar el método inductivo, se debe asegurar que los alumnos posean las ideas particulares que van a comparar, coordinar, etc; para juzgar y generalizar; y si no las poseen, debemos hacer que las adquieran previamente.

Cuando se aplica la inducción, realizamos la abstracción que es una operación que consiste en comparar los casos, hechos o fenómenos, deslindando lo común entre ellos de lo no común y tomar en consideración lo común para así al finalizar podamos generalizar.

El método inductivo en las clases que buscan en los alumnos la adquisición de algo general, tiene éxito en su aplicación; pero en aplicaciones o en resolver problemas, etc; no cabe su aplicación.

b) Método deductivo

Al igual que el inductivo, es un método de razonamiento; pero se diferencia de éste en que se utiliza para los casos particulares partiendo de hechos generales conocidos; es decir, va de lo general a lo particular, donde lo general es conocido y lo particular desconocido.

Debemos cuidar al aplicar este método de no dar como general a aquello que no tiene ese carácter, pues nuestras conclusiones pueden ser falsas. Mientras que el método inductivo es intuitivo, el deductivo es imaginativo.

              

c) Método analítico

El método analítico consiste en ir del todo a las partes; es decir, es un método de descomposición y se aprecia por el resultado al que lleguemos. Esta es la descomposición con el fin de enseñar ideas particulares.

d) Método sintético

Método sintético es aquel que hace llegar al aprendizaje, mediante la recomposición, lo cual permite llegar a una idea particular.

Tenemos un todo descompuesto, desarmado; estudiaremos todas sus partes y las armaremos o reconstituiremos, para apreciar el todo en su conjunto. Es decir, el método sintético es recomposición y va de las partes al todo.